用視覺化圖形直觀理解貝葉斯定理：幾何證明詳解

您是否曾經讀過貝葉斯定理，並好奇過為什麼它的證明在數學上如此晦澀難懂？這確實令人困惑。想象一下，一幅由各種形狀和顏色組成的圖畫，展現了貝葉斯推理，而無需任何方程式。現在，您將能夠透過直觀的形狀和麵積來揭開貝葉斯定理的神秘面紗。這證明了條件機率具有幾何意義。貝葉斯定理是機率論中的一個基本概念，大多數人無法用數學方法解釋它。在本文中，我們將深入探討機率的世界，並以直觀的方式進行講解。閱讀本文後，您將能夠直觀地理解貝葉斯定理及其證明。

什麼是條件機率

在深入貝葉斯定理之前，我們先來了解一下什麼是條件機率。

條件機率是指在給定一個事件已經發生的情況下，另一個事件發生的可能性。簡單來說，它是指在一個事件已經發生的條件下，另一個事件發生的機率。你掌握了關於一個事件的資訊，因此它會影響另一個事件的機率。

• 基本機率：在沒有任何先驗知識的情況下，事件 A 發生的機率就是事件 A 的機率（寫為 P(A)）。
• 條件機率：在給定事件 B 已經發生的條件下，事件 A 發生的機率（寫為 P(A|B)）。

下圖是條件機率的數學公式。

其中，

P(A∣B) 是在事件 B 已經發生的情況下，事件 A 發生的條件機率。

P(A and B) 是事件 A 和事件 B 同時發生的聯合機率。

P(B) 是事件 B 發生的邊際機率。

什麼是貝葉斯定理？

貝葉斯定理，也稱為貝葉斯規則或貝葉斯定律，用於確定事件 B 已經發生時事件 A 的條件機率。簡單來說，它是一種根據新資訊更新你對某個事件的理解的方法。它可以幫助你在已經觀察到結果（事件 B）的情況下，計算原因（事件 A）的機率。

舉一個簡單的例子：

• 你之前的信念是大多數新開的餐廳都比較普通。
• 你看到一家新開的餐廳外面排著長隊，這就是你的新證據。

貝葉斯定理可以幫助你更新你的信念；線越長，餐廳好的可能性就越大，從而修正了你最初的“平均”信念。

該圖展示了貝葉斯定理：

• P(A∣B) （後驗機率）是考慮證據 B 後事件 A 的更新機率。
• P(B∣A) （似然機率）是在事件 A 為真的情況下觀察到證據 B 的機率。
• P(A) （先驗機率）是在考慮任何證據之前事件 A 的初始機率。
• P(B) （證據機率）是觀察到證據 B 的機率。該圖展示了貝葉斯定理：P(A∣B)=P(B)P(B∣A)⋅P(A)​。

我們終於探索了理解貝葉斯定理的所有先決條件。

讓我們深入研究貝葉斯定理的視覺化：

探索視覺化圖表

為了便於理解，我們將提供的視覺化圖表拆分成幾個部分。

描述佈局

• 矩形表示總樣本空間
  
• 菱形 = 事件 A
  
• 圓形 = 事件 B
  
• 重疊（交集）= A ∩ B
  

將視覺影像對映到數學：

• P(A) = 菱形面積 / 全灰面積。表示事件 A 的機率，即事件 A（菱形）的機率除以樣本空間（矩形）的機率。

• P(B) = 圓形面積 / 全灰面積。表示事件 B 的機率，即事件 B（圓形）的機率除以樣本空間（矩形）的機率。

• P(A|B) = 重疊 / 圓形面積。表示事件 B 發生時事件 A 的條件機率。A ∩ B（重疊）的機率除以 B（圓形）的機率。

• P(B|A) = 重疊 / 菱形面積。表示事件 A 發生時事件 B 的條件機率。B ∩ A（重疊）的機率除以 A（菱形）的機率。

逐步推導

根據貝葉斯機率公式：

其中，P(A|B) 是重疊面積除以圓。因此，我們必須證明：

根據貝葉斯定理，下列等式也等於重疊面積除以圓，即左側 (LHS) = 右側 (RHS)。

我們將給定的形狀代入左側。將值代入之前定義的對應形狀後，我們可以注意到，可以使用分數規則裁剪出幾個相似的形狀。

裁剪相似的影像後，我們剩下重疊形狀除以圓。得到的分數等於 P(A|B)，即所需的右側。

因此，左側 = 右側，貝葉斯定理可以透過形狀和維恩圖得到證明。這表示貝葉斯定理的直觀證明。

貝葉斯定理的應用

貝葉斯定理是機率研究中的一個基本概念。雖然它的概念簡單易懂，但其應用卻展現了它在各個領域的廣泛性。

• 醫學診斷與檢測：在醫學領域，貝葉斯定理可以根據檢測結果確定疾病（例如癌症、新冠肺炎、糖尿病）的機率。它考慮了疾病的流行程度、檢測的敏感性和特異性，這些對於準確解釋陽性/陰性結果至關重要。
• 垃圾郵件過濾與文字分類：樸素貝葉斯演算法根據詞頻評估垃圾郵件的可能性。它的準確性通常比其他演算法更高。此外，它易於實現且穩健，即使功能眾多。
• 搜救任務：近年來，搜救任務大量使用貝葉斯演算法來定位失蹤的船隻、飛機和徒步旅行者。其機制包括使用貝葉斯定理的模型，透過飛行路徑、天氣和搜尋模式來更新可能的位置。它引導救援人員決定下一步的行動方向。

小結

貝葉斯定理的證明僅僅是比較整體的各個部分。當你觀察重疊的形狀時，你會看到比例如何講述整個故事。你可以繪製彩色的圓圈和菱形（或任何你喜歡的形狀）來獲得隨機場景，並即時觀察貝葉斯的運作，而​​不僅僅是在數學上。一旦你運用這些視覺效果，你就能輕鬆地建立直覺，然後你就可以更深入地研究貝葉斯推理，例如使用先驗、似然值、更新信念，所有這些都從簡單的重疊區域開始。將方程視覺化使其更容易理解和實現。

常見問題

Q1. 紫色重疊部分代表什麼？

A. 聯合事件 A 和 B (P(A ∧ B)) – 貝葉斯公式的基礎

Q2. 如何從圖中得出 P(A|B)？

A. 它是重疊面積除以圓 (B) 的總面積

Q3. 為什麼 P(A ∩ B) 是對稱的？

A. 交集是可交換的 – 順序無關緊要。

Q4. 這種視覺化方法可以擴充套件到兩個以上的事件嗎？

A. 3 個以上事件的情況會變得複雜，但馬賽克圖或樹狀圖效果很好。

Q5. 為什麼使用視覺化方法而不是代數方法？

A. 視覺化方法可以建立更強的直覺，並有助於避免誤解條件機率。